ÁREA DE CONTEÚDOS -GEOMETRIA
GEOMETRIA
Geometria é uma palavra de origem grega que significa: "geo", terra, e "metria", que vem da palavra "métron" e significa medir. Sendo assim, a Geometria é uma ciência que se dedica a estudar as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades.
Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a Geometria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geometria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros. A esses estudiosos, que formularam axiomas, postulados e teorias, podemos atribuir descobertas e criações como:
Descobertas e criações de grandes geômetras:
- A área sob o arco de uma parábola (Arquimedes);
- A aproximação do valor numérico do número pi (Arquimedes);
- O volume de superfícies de revolução (Arquimedes);
- Sistema de coordenadas (Descartes);
- A união da geometria com a álgebra, o que resultou na geometria analítica (Descartes);
- O diâmetro que divide o círculo em duas partes iguais (Tales de Mileto);
- Os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Tales de Mileto);
- Geometria euclidiana (Euclides).
Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa, podemos dividi-la nas seguintes subáreas:
Geometria analítica: relaciona a álgebra e a análise matemática com a geometria;
Geometria plana: também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides;
Geometria Espacial: realiza o estudo de figuras tridimensionais. Nessa área de estudo, é possível calcular o volume de um sólido geométrico.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Geometria analítica é um campo da matemática em que é possível representar elementos geométricos, como pontos, retas, triângulos, quadriláteros e circunferências, utilizando expressões algébricas. As expressões algébricas são derivadas da ideia de união de pontos que seguem determinado padrão. Pontos esses que são dispostos em um sistema de coordenadas proposto por René Descartes.
A geometria analítica tem como principal objetivo descrever objetos geométricos utilizando um sistema de coordenadas, o plano cartesiano. Este consiste em dois eixos reais perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas. Observe a figura a seguir:
Conceitos importantes da geometria analítica
Distância entre dois pontos
A distância entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) é definida pelo segmento de reta AB, que vamos denotar dAB. Veja como obter o tamanho desse segmento, ou seja, a distância.
Note que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo, logo, para determiná-la, vamos utilizar o teorema de Pitágoras.
Exemplo:
Coordenadas do ponto médio
Na geometria plana, o ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta AB ao meio, ou seja, em duas partes iguais. Na geometria analítica, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
A coordenada do ponto médio, ou seja, do ponto M, é dada por:
Exemplo:
Condição de alinhamento de três pontos
Considere três pontos - A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc) - distintos no plano. Diremos que os pontos são colineares se o determinante abaixo for igual a zero. Podemos dizer também que eles são colineares se existir uma reta que os contenha.
Exemplo:
RESUMO- MAPA MENTAL
PLANO CARTESIANO
Plano cartesiano, também conhecido como sistema cartesiano, é um traçado de retas perpendiculares onde perpassa outra, sendo uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90°. Esse esquema serve para variados cálculos.
Quem teorizou e desenvolveu o plano foi René Descartes. Ele simplificou a álgebra através da geometria euclidiana, fazendo cálculos em um pressuposto plano. Para entender do que se trata o sistema de orientação e cálculos de Descartes é importante aprender sobre as retas e infinidade dos números.
Entende-se que uma reta, além de ser o caminho mais curto de um ponto a outro, não possui nem início nem fim (infinita). Como não existe um início ou final, foi-se estabelecido que para criar um norte é necessário um ponto de origem. Esse tal ponto conta sempre como 0, sendo também o eixo e o meio.
Cada ponto que a reta segue para cima ou à direita os valores passam a ser positivos. Já os pontos para baixo ou à esquerda os números passam a ser negativos.
Os eixos do plano cartesiano
Quadrantes
Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário. Começa pelo lado em que as abscissas e ordenadas são coordenadas positivas. Vejamos o exemplo:
A relação dos quadrantes é dada por:
Os formatos que as retas perpendiculares desenham assemelham-se com o desenho de uma cruz ou a letra L. Por isso, elas também formam áreas que lembram um quadrado, que na verdade são quadrantes. Cada quadrante deve conter 90° graus, ainda que se recorte apenas um deles para exemplo.
Localização de pontos no Plano Cartesiano
QUESTÃO 1
Um triângulo equilátero tem seus vértices com as seguintes coordenadas no plano cartesiano:
A(2, 1), B(5, 1) e C(2, 4)
Quais são as coordenadas do baricentro desse triângulo?
a) G = (3, 2) b) G = (2, 3) c) G = (3, 3) d) G = (2, 2) e) G = (1, 2)
SOLUÇÃO:
Para responder a essa questão, basta usar a fórmula a seguir para determinar as coordenadas do baricentro do triângulo:
QUESTÃO 2
Qual é o ponto de encontro entre as retas: x - y = 0 e x + y - 4 = 0
a) (2, 0) b) (0, 2) c) (2, 2) d) (0, 0) e) (1, 1)
SOLUÇÃO:
Para determinar o ponto de encontro entre duas retas, deve-se isolar uma de suas incógnitas, descobrir o valor de uma delas e depois encontrar o valor da outra, por processos de substituição. Observe:
x - y = 0 logo, x = y
x + y - 4 = 0
y + y - 4 = 0
2y = 4
y = 2
Assim:
x - y = 0
x - 2 = 0
x = 2
O ponto de encontro entre essas duas retas tem as seguintes coordenadas (2, 2).
